Hijo de emigrantes gallegos, Héctor Núñez nació en Montevideo, donde inicio su formación como futbolista en el Liverpool, club localizado en el barrio de Belvedere, y que militaba en la quinta división uruguaya. En 1954 pasó al Nacional de Montevideo, equipo con el que debutó en la Primera División de Uruguay, logrando el título de Liga en 1956 y 1957, año en el que se le otorgó el premio al mejor jugador del país. Tras su visita a España, en la que el Nacional derrotó 2-1 al Flamengo en el prestigioso Trofeo Teresa Herrera, el jugador despertó el interés de varios clubes españoles por su magnífica participación, en la que marcó un gran gol.

El Valencia se anticipó a otros equipos, como Celta y Granada, y se hizo con sus servicios en mayo de 1959, a poco de finalizar la temporada, participando en varios amistosos y en los partidos de Copa. Su debut con el equipo che se produjo en esta competición, el 3 de mayo de 1959, contra el Córdoba. tras sus primeros meses en el club, se mantuvo en primera línea durante seis temporadas, con un rendimiento excepcional, marcando 78 goles en 209 partidos oficiales con la camiseta che. Se trataba, además, una excelente profesional, con oficio y garra, que echó raíces en el club, integrándose a la perfección en la ciudad. Se adaptaba a cualquier posición en el ataque y, de hecho, las ocupó casi todas durante su estancia en Mestalla.

Conforme al prototipo sudamericano, era un jugador de sangre caliente. Infatigable durante el juego, respondía a las provocaciones de forma beligerante, y a buen seguro habría acumulado un buen número de tarjetas amarillas de haberse inventado en su época. Llevaba el gol en la sangre, pero también era generoso en asistencias a los compañeros. También era un especialista en faltas y penalties. Con sus goles, ayudó a construir el primer Valencia campeón continental, con las dos Copas de Ferias conquistadas en 1962 y 1963. Hizo seis entre los dos triunfos a domicilio de la primera Copa (1-5 en Nottingham y 3-7 al MTK de Budapest).

Su carácter le hizo ganarse con rapidez el cariño de una grada que siempre ha disfrutado con los jugadores de lucha y coraje. Aquí se ganó el sobrenombre cariñoso de «el Palomo», por sus vuelos acrobáticos y planeados en los remates de cabeza. En 1965, con la baja del Valencia, fichó por el Mallorca, con el que no pudo evitar el descenso a Segunda División. La temporada siguiente, firmó dos temporadas con el Levante, para poder atender el restaurante que había abierto en Valencia a medias con Roberto. Más tarde, emprendió una larga carrera como técnico, en la que llegó a ser seleccionador uruguayo, pero nada le hizo tan feliz como convertirse en entrenador del Valencia durante unos cuantos partidos de la Liga de 1994. Héctor Núñez falleció el lunes, 19 de diciembre de 2011, en Madrid, a la edad de 75 años.